大家要想成為過程控制的高手，總少不了去學習控制理論，昌暉儀表網技術文庫欄目以大話形式推出一系列介紹控制理論的文章，分別介紹線性控制、最優控制、離散控制模型與辨識、自適應控制模型預估控制方面的內容。

都說瓦特的蒸汽機后，計算機是影響人類進程最大的發明，計算機當然也對自動控制帶來了深刻的影響。前面說到，控制理論基本上都是圍繞著微分方程轉的，所以在“本質”上是連續的。但是數字計算機是離散的，也就是說，數字控制系統的眼睛不是一直盯著被控對象看的，而是一眨一眨的，只是眨得飛快而已。數字控制系統的“手腳”也不是一刻不停地連續動作的，而是一頓一頓的，這是數字計算機的天性使然。只是數字計算機的眨眼和頓挫非常短暫，在實際上和連續動作無異。不過在數學上，這眨眼和頓挫帶來很多有趣、有用的性質。

馮·諾依曼奠定現代計算機理論基礎時，最關鍵的法寶就是二進制。二進制可以用0和1表述所有數值數據，同時還可以表示“是”“非”或者“好”“壞”這樣的邏輯數據，有機地把數值計算和邏輯判斷整合在同一個運算框架下，這是現代計算機無限神通的理論基礎。0和1的計算還可以用邏輯電路(各種門電路，如與門、非門、或門等)實現，這是現代數字計算機的物理基礎。但這也帶來了新的問題：數字計算機在本質上是斷續(數學上稱為離散)的，盡管間隙非常短暫。這樣，傳統的控制理論需要全部“翻譯”到離散時間領域，微分方程變成了差分方程，所有方法、結論都有了連續、離散兩套，不盡相同，但是對線性系統來說都大同小異。

要是數字控制就是簡單的連續系統離散化，計算機控制也就沒有什么了不起了。但差分方程用清晰標定的時刻之間的關系來描述動態過程，這給離散控制帶來了一些連續控制所不可能具備的新特點。回到洗熱水澡的例子，如果熱水龍頭不在跟前，而是在村頭的小鍋爐房里，你不能霸著電話線煲電話粥，只能每分鐘用電話遙控一次，那水溫或許可以表示為

下一分鐘水溫＝0.7×現在水溫＋0.2×上一分鐘水溫＋0.1×再上一分鐘水溫＋0.4×(5min前鍋爐房水龍頭開度-6min前鍋爐房水龍頭開度)

顯然，下一分鐘的水溫受現在水溫的影響比上一分鐘水溫的影響要大，受上一分鐘的水溫影響比再上一分鐘水溫的影響更大。不考慮管路散熱的話，鍋爐房水龍頭開度要是不變，再過上幾分鐘，下一分鐘的水溫應該和現在的水溫一樣了。事實上，上一分鐘和再上一分鐘的水溫也一樣了。為什么用5min前鍋爐房的水龍頭開度呢？那是因為熱水從村頭的鍋爐房流到洗澡房需要5min時間，這個時間就是滯后。

在連續時間域里，滯后是一個很難處理的事情。反饋控制是根據當前測量值做出反應的。過程滯后意味著當前的測量值實際上是滯后時間之前控制動作的結果，如果盲目地用當前的控制動作試圖影響下一步的過程，就會出問題。以村頭鍋爐房為例，現在感覺水涼了，這是5min前熱水不足的結果，要是現在加大熱水，至少要5min后才顯示出結果。要時刻記住這個時間差。要是不考慮這個滯后，性急地不斷加大熱水，5min后水就要太燙了。但連續控制律在設計和實施中都不容易考慮這5min的滯后問題，在離散時間域里，這個問題就好解決了。

還是用要是上述離散模型：

未來第6min水溫＝0.7×未來第5min水溫＋0.2×未來第4min水溫＋0.1×未來第3min水溫＋0.4×(當前鍋爐房水龍頭開度-1min 前鍋爐房水龍頭開度)
未來第5min水溫＝0.7×未來第4min水溫＋0.2×未來第3min水溫＋0.1×未來第2min水溫＋0.4×(1min前鍋爐房水龍頭開度-2min前鍋爐房水龍頭開度)
未來第4min水溫＝0.7×未來第3min水溫＋0.2×未來第2min水溫＋0.1×未來1min水溫＋0.4×(2min前鍋爐房水龍頭開度-3min前鍋爐房水龍頭開度)
......
未來1min 水溫＝0.7×當前水溫＋0.2×1min 前水溫＋0.1×2min 前水溫＋0.4×(5min前鍋爐房水龍頭開度-6min前鍋爐房水龍頭開度)

依次迭代進去，就可以得出未來第6min水溫與當前和過去的水溫及鍋爐房水龍頭開度的關系。當前與過去的水溫和過去的鍋爐房水龍頭開度是已知的，把預估第6min的水溫定為要求的溫度，也就是設定值，就可以此為基礎，解算當前所需的鍋爐房水龍頭開度，這就是以模型為基礎的預估控制器(Model Predictive Control)的基本設計思路。

離散模型的預估作用是非常重要的特質，所有預報模型都是建立在離散模型的這個預估能力上的，無論是天氣預報，還是經濟預測，還是自動控制里對有滯后過程的控制。

數字控制的另一特質是可以實施一些不可能在連續時間實現的控制規律。航天飛機的末段速度控制很重要，在著陸進近時，速度變化超過預定要求達到 20km/h以上的話，就可能會對著陸接地造成問題，不是沖出跑道終點，就是還沒有到達跑道起點就觸地。航天飛機是無動力滑翔著陸，是一錘子買賣，不能出差錯，必須精細控制。但在再入大氣層初期，速度控制也很重要，太快了要造成過度氣動加熱，或者導致著陸速度太高造成危險；太慢了當然也不行，飛不到著陸跑道就壞事了，航天飛機可不是什么地方都能著陸的。但是在速度高達25馬赫的再入大氣層初期，20km/h的速度差別根本可以忽略不計，200km/h的速度差別才值得引起注意。換句話說，設定值與實際值之差為20km/h并不一定很重要，但設定值與實際值相差10%，那就需要強有力的控制校正。換句話說，控制誤差由通常的差值變為比值，同樣，控制量也應該由從當前值開始的增量改變為百分比式的相對變化。這樣，控制律就可以表示為：

當前的控制量＝上一步的控制量×(設定值/當前的測量值)

也就是說，在被控變量高于設定值10%的情況下，控制量也增加10%；測量值和設定值一樣時，控制量不再變化。實際使用時，誰除以誰要根據控制器的正反作用來決定，上面是正作用的情況，反作用的話，控制律把分子分母顛倒一下。這個控制律還可以進一步修改成為：

當前的控制量＝上一步的控制量×(當前的測量值/設定值)^k

k次方是用來調整控制律對“偏差”(這時已經不是差值，而是比值了，嚴格地說，應該叫作“偏比”)的靈敏度，相當于控制增益。這個控制律實際上相當于對數空間的純積分控制，對很多常見的非線性過程有不錯的效果，實現也簡單。要是有興趣，這還可以進一步擴展為對數空間的PID控制律。然而，這是一個本質離散的控制律，在連續時間里無法實現。

另一個巧妙的“數字專用”控制律牽涉到系統平均停留時間。反應器的容積是固定的，但通過反應器的總流量隨產量甚至產品而變。有時工藝條件可以解放出一點增產空間，有時因為市場關系而需要限產，這樣通過的流量就不固定了。這可以用自適應增益來解決，但也可以換一個路子，用可變采樣頻率來解決。反應器容積除以通過的體積流量(也就是L/h而不是kg/h)就是反應器內平均停留時間，這相當于(但不一定等于)反應器內的時間常數。數字控制通常使用固定的采樣頻率，但如果針對某一通過流量(基準通過流量)下某一采樣頻率(基準采樣頻率)整定PID參數，但采樣頻率與通過流量(或者平均停留時間)的比值保持固定，那按照基準情況整定的PID參數就可以繼續使用了，而不必求助于自適應增益。這也是一個本質離散的控制律，在連續時間里無法實現。

離散控制“看一步、走一步”的特性，是連續控制很難模仿的，也是實際中極其有用的。

大話現代控制理論之離散控制篇的內容到此就結束了，歡迎大家繼續關注《大話現代控制理論之模型與辨識》。