對工業界過程控制有時使用的以積分為主導控制作用的做法啰唆幾句。
在學術上，控制的穩定性基本就是漸進穩定性，BIBO穩定性是沒有辦法證明漸進穩定性時的“退而求其次”的東西，不怎么上臺面的。但是工業界里的穩定性有兩個看起來相似、實質上不盡相同的方面：一個當然是漸進穩定性，不光逐漸穩定下來，而且向設定值收斂；另一個則是穩定性，但不一定向設定值收斂，或者說穩定性比收斂性優先這樣一個情況。后者的情況就是需要PID控制系統穩定在還算靠譜的位置就可以了，多少接近設定值就行，要緊的是不要動來動去，是不是正好在設定值反而并不是太重要。這樣的例子有很多，比如反應器的壓力是一個重要參數，反應器壓力不穩定，進料一會兒打得進去，一會兒打不進去，原料進料比例就要亂套，催化劑進料也不穩定，反應就不穩定。但是反應器的壓力到底是2MPa還是2.5MPa并沒有太大的關系，只要慢慢地但又穩定地向設定值收斂就足夠了。這是PID控制理論里比較少涉及的一個情況，但這也是工業上時常采用積分主導的控制的一個重要原因。
系統的頻率就是系統響應持續振蕩時的頻率，但是控制領域里有三撥人在倒騰：一撥是以機電類動力學系統為特色的電工出身，包括航空航天、火力控制、機器人等；一撥是以連續過程為特色的化工出身的，還包括冶金、造紙、化纖等；還有一撥是以微分方程穩定性為特色的應用數學出身的。在瓦特和抽水馬桶的年代里，各坐各的山頭，井水不犯河水，倒也太平。但控制從藝術上升為理論后，總有人喜歡“統一”各個山頭。在控制理論的三國大戰中，電工幫搶了先，好端端的控制理論里被塞進了電工里的頻率。可是啊可是，這哪是頻率啊，這是......復頻率。既然那些“變態”的電工黨能折騰出虛功率來，那他們也能折騰出復頻率來。他們自虐倒也算了，只是苦了無辜之眾，從此被迫受此精神折磨。
事情的緣由是系統的穩定性。前面提到，PID參數如果設得不好，系統可能不穩定。除了摸索，有沒有辦法從理論上計算出合適的PID參數呢？有的。動態過程可以用微分方程描述，其實在PID的階段，這只是微分方程中很狹窄的一支：單變量定常系數線性常微分方程。要是還記得一點高數，一定還記得線性常微的解，除了分離變量法什么的，如果自變量時間用t表示的話，最常用的求解還是把eλt代入微分方程，然后解λ的代數方程(正式稱呼是特征方程)，解出來的就是特征根。這可以是實數，也可以是復數。是復數的話，微分方程的解就要用三角函數展開了(怎么樣，當年噩夢的感覺找回來一點沒有)。實數根整個都是實部。復數根可以分解為實部和虛部，只要所有特征根的實部為負，那微分方程就是穩定的，因為負的指數項最終隨時間向零收斂。虛部到底有多大就無所謂了，對穩定性沒有影響，但對振蕩頻率有影響。但是，這么求解分析起來還是不容易，還是超不出“具體情況具體分析”，難以得出一般的結論。
如今法國排不進第一世界了，再自豪的法國人都不敢自稱超級大國，但當年法國人是很牛的，除了凡爾賽宮和法國大餐外，還有很多厲害的數學家。其中一個叫拉普拉斯的家伙，搗鼓出一個拉普拉斯變換，把常微分方程變成s的多項式。拉普拉斯變換是數學變換的一種，而數學變換是數學世界里一個十分精妙的游戲。還記得尼古拉斯·凱奇主演的電影《國家財富》嗎，淘寶人發現了一副奇妙的彩色偏振鏡片，用不同組合，可以在《獨立宣言》原稿背面看出不同的尋寶線索。這當然是騙票房的東西，但數學變換好比這彩色偏振鏡片，從一個看似一堆混沌的東西里換一個角度去看，再換一個角度去看，可以看出很多奧妙來，尤其是結構性的特征。用拉普拉斯變換處理常微分方程也是這個意思，可以從看似無從入手的常微分方程里，提出與穩定性相關的特征信息來。對描述動態過程的微分方程施加拉普拉斯變換后，微分方程就變成了傳遞函數，這是經典控制理論的基礎。這里面的數學細節說起來比較啰唆，還是留給嚴謹的教科書吧，昌暉儀表這里就不扯遠了。
光拉普拉斯變換還不夠，往s里代入jω，就是那個復頻率，這就整出一個變態的頻率分析，用來分析系統的穩定性。不過說變態，也不完全公平，在沒有計算機的年代，各種專用圖表是最有效的分析方法，還美其名曰“幾何分析”，頻率分析也不例外。美國人沃爾特·埃文斯(Walter Evans)在傳遞函數的基礎上，搞出一個根軌跡(Root Locus)分析方法，思路倒是蠻有意思的。給定傳遞函數后，開環系統(還記得開環、閉環嗎？開環就是沒有反饋的，閉環就是帶反饋的）的特征根是給定的，開環穩定不穩定就是它了。傳遞函數分子多項式的根為零點，分母多項式的根為極點。閉環之后，增益為零的話，就退化為開環情況。在增益逐步增大的過程中，增益鎖定在每一個特定值時，都可以解出相應的特征根(不管是實的還是虛的)，可以在復平面(也就是說，縱軸為虛軸，橫軸為實軸)上標出來。把不同增益下的特征根連接起來，就形成了根軌跡。
埃文斯還證明了有趣的一點：根軌跡必定從開環極點開始，以零點為終點；根軌跡的分支數正好為極點數，所以二階系統有兩條根軌跡，三階系統有三條根軌跡等。由于正常系統的零點數總是少于極點數，“多出來”的根軌跡就以無窮大為終點。于是，最終形成的根軌跡好像從開環極點長出來的樹杈，但像飛蛾撲火一樣向開環零點匯聚，“無家可歸”的根軌跡分支實在沒有地方可去，沒有零點作為歸宿，只好孤寂地向無窮的幽深散發。要是根軌跡總是在左半平面打轉，則說明實根為負，就是穩定的。再深究下去，系統響應的臨界頻率之類也可以計算出來了。
根軌跡最大的好處是，對于常見的系統，可以給出一套做圖規則來，熟練的大牛、小牛、公牛、母牛們，對傳遞函數的形式用眼睛一瞄，隨手就可以畫出根軌跡來，然后就可以定性地告訴你，增益大概變化到多少，系統就要開始振蕩，再增加多少，系統會不穩定，云云。
根軌跡還是比較客氣的，還有更變態的奈奎斯特法、伯德法和尼科爾斯法，想想腦子都大了時至今日，計算機分析已經很普及了，但是古典的圖示分析還是有經久不衰的魅力，就是因為圖形分析不光告訴你當前系統是穩定還是不穩定，以及其他一些動態響應的參數，還定性地告訴你增益變化甚至系統參數變化引起的閉環性能變化。在什么都用計算機先算一遍的今天，定性分析依然有特殊意義。定量分析好比是樹，可以精確地告訴你這里有一棵樹，有多高多粗多老，但只有定性分析才能揭示出林，告訴你這里有很多樹，而且這邊大多是小樹，大樹主要在那邊。定性分析指出大方向，這是數值計算正確性的概念保障。時至如今，不少人吃過盲目相信計算機數值計算結果的苦頭，但要不盲目，靠什么呢？靠的就是對事物的定性認識，包括對方向性、數量級的認識。這些折磨腦子的圖形分析就是干這個用的(咦，剛才還不是在說人家變態嗎？呃，變態也有變態的魅力不是？)。
作者：晨楓
